Polynômes de Tchebychev
$$T_k:\begin{align}{{[-1,1]}}&\longrightarrow{\Bbb R}\\ x&\longmapsto{{\cos(k\arccos x)}}\end{align}\quad\text{ avec }\quad k\geqslant0$$
- c'est un polynôme de degré \(k\)
- si \(k\geqslant1\), son coeff directeur est \(2^{k-1}\)
- relation de récurrence : $$T_{k+1}(x)=2x T_k(x)-T_{k-1}(x)$$
- si \(\lvert x\rvert\gt 1\), on a la formule : $$T_k(x)={{\frac12\left[\left( x+\sqrt{x^2-1}\right)^k+\left( x-\sqrt{x^2-1}\right)^k\right]}}$$
- racines dans \([-1,1]\) :
- simples différentes deux à deux
- données par : $$x_i={{\cos\left(\frac{2j-1}{2k}\pi\right)}}\quad\text{ avec }\quad j\in[\![1,k]\!]$$
- extremas en \([-1,1]\) :
- donnés par $$y_i={{\cos\left(\frac{j\pi}k\right)}}\quad\text{ avec }\quad j\in[\![0,k]\!]$$
- pour les extremas dans \(]-1,1[\), \(T_k'(y_i)=0\)
